Текстовые решения некоторых заданий
2. СтатГрад 2021
2.1. Решение
Логическая функция F задается выражением:
((x→y)≡(w→x))∧(z→w)
Дан частично заполненный фрагмент, содержащий неповторяющиеся строки таблицы истинности функции F.
Определите, какому столбцу таблицы истинности соответствует каждая из переменных x,y,z,w.
Переменная 1 | Переменная 2 | Переменная 3 | Переменная 4 | Функция |
??? | ??? | ??? | ??? | F |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 |
|
| 0 | 1 |
| 0 | 1 |
| 1 |
В ответе напишите буквы x,y,z,w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква соответствующая второму столбцу, и т.д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Начинаем с построения таблицы истинности F=((x→y)≡(w→x))∧(z→w)
x | y | z | w | x→y | w→x | (x→y)≡(w→x) | z→w | F |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Выпишем все строки, где F=1, пропустив промежуточные вычисления.
x | y | z | w | F |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Переменная 1 | Переменная 2 | Переменная 3 | Переменная 4 | Функция |
??? | ??? | ??? | ??? | F |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 |
|
| 0 | 1 |
| 0 | 1 |
| 1 |
Сравнив нашу таблицу с таблицей, данной в условии, видим, что в таблице, данной в условии, не может быть строк, состоящих из всех нулей и всех единиц. Следовательно, из пяти строк получившейся у нас таблицы мы оставляем только три.
x | y | z | w | F |
0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Переменная 1 | Переменная 2 | Переменная 3 | Переменная 4 | Функция |
y | z | ??? | ??? | F |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 |
|
| 0 | 1 |
| 0 | 1 |
| 1 |
Сразу однозначно определяем переменные y и z, т.к. никакие другие столбцы из таблицы данной в условии не могут состоять только из нулей или только единиц. Далее сопоставляем строчки.
x | y | z | w | F |
0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Переменная 1 | Переменная 2 | Переменная 3 | Переменная 4 | Функция |
y | z | ??? | ??? | F |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 |
| 0 | 1 |
1 | 0 | 1 |
| 1 |
У нас есть строка с 3 единицами, с 2 единицами и с 1 единицей. Строку с двумя единицами сразу определяем однозначно. Далее строка с тремя единицами и одним нулем может быть только последней, т.к. в средней строке уже есть два нуля.
x | y | z | w | F |
0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Переменная 1 | Переменная 2 | Переменная 3 | Переменная 4 | Функция |
y | z | w | x | F |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
И из оставшихся неопределенных столбцов, x имеет две единицы, а w имеет одну единицу, за счет чего мы можем их однозначно сопоставить.
Ответ: yzwx
Источник: СтатГрад 2021.