Задачи с параметром (поиск максимума/минимума параметра)

Уравнения

A-2x=5, найти наибольшее A, при котором x будет двузначным целым числом.

Выразим A

A=2x+5

Очевидно, что чем больше x, тем больше A. Соответственно, для того, чтобы A было наибольшим, x должен быть равен наибольшему возможному значению, а именно x=99.

A=2*99+5

A=203.

Ответ: 203.

Неравенства

2x+5≤A, найти наименьшее A, чтобы для любого x, являющегося решением данного неравенства, был бы верно, что x≤105.

Для удобства перепишем неравенство следующим образом A≥2x+5. Если A не меньше наибольшего значения выражения 2x+5, то A не меньше и любого другого значения данного выражения, а значит, необходимо и достаточно, чтобы A≥(2x+5)_max. Чем больше x, тем больше значение выражения 2x+5, а значит (2x+5)_max=2x_max+5. Ну и т.к. на x наложено ограничение, что он не больше 105, то получаем A≥2*105+5; A>=215. Наименьшее A при котором любой x, являющийся решением неравенства 2x+5≤A, будет не больше 105 равно 215.

Ответ: 215.

Неравенства с двумя неизвестными

При каком наибольшем целом A верно, что xy>A для любой пары x и y для которых выполняются неравенства x≤y и 8≤x.

Перепишем неравенство с параметром A<xy. Если A<(xy)_min, то A меньше чем любое другое значение выражения xy. Выражение xy принимает минимальное значение при минимальных значениях x и y. Минимальное значение x=8 и именно при этом значении x мы получаем минимальное значение y=8. Значит A<64. Итого наибольшее целое A=63.

Ответ: 63.

Делимость

При каком наибольшем натуральном A верно, что x делится на A, для любого натурального x для которого выполняются следующие условия

1)     x∈[50;60];

2)     x делится на 13.

Существует всего один x в диапазоне от 50 до 60 кратный 13. Это x=52. Получается, для выполнения первого условия нужно, чтобы 52 делилось на A. Это возможно при A=1,2,4,13,26,52. Наибольшее A=52.

Ответ 52.

Делимость 2

При каком наибольшем натуральном A верно, что x делится на A для любого натурального x для которого выполняются следующие условия

1)     x делится на 26;

2)     x делится на 169.

Минимальное число, которое делится и на 26, и на 169 – это 338. А значит, ряд чисел, которые делятся и на 26, и на 169 выглядит как 338, 338*2, 338*3 и т.д. Для того, чтобы все числа из этого ряда были кратны A, 338 должно быть кратно A. Следовательно, A=1,2,13,26,169,338. Наибольшее из найденных чисел – 338.

Ответ 338.

Отрезки

Найдите наименьшую возможную длину отрезка A, такого что для всех x удовлетворяющих следующим условиям

1)     x ∈ [17; 58];

2)     x ∉ [29; 80].

будет верно, что x ∈ A.

Первое и второе условия выполняются если x ∈ [17; 29).

А значит все эти значения должны входить в отрезок A.

[17; 29) ⊂ A.

Т.к. A – является отрезком, он не может быть с выколотыми крайними значениями, а значит допустимый отрезок с минимальной длиной – это A=[17; 29]. И его длина равна 29-17=12.

Ответ: 12.