Равносильные выражения

Иногда удобно перейти от одного логического выражения к другому. Для этого есть свойства логических операций и логические законы.

1. Законы поглощения констант. Дизъюнкция переменной с 0 и конъюнкция переменной с 1 дает в итоге эту переменную.
   x∨0=x;
   x∧1=x.
2. Законы поглощения переменных. Дизъюнкция переменной с 1 дает в итоге 1. Конъюнкция переменной с 0 дает в итоге 0.
   x∨1=1;
   x∧0=0.
3. Закон двойного отрицания. Если к переменной с отрицанием применить отрицание повторно, мы получим ту же переменную.
   ¬¬x=x.
4. Закон противоречия. Конъюнкция переменной и ее отрицания дает 0.
   x∧¬x=0.
5. Закон исключенного третьего. Дизъюнкция переменной и ее отрицания дает 1.
   x∨¬x=1.
6. Коммутативность (переместительный закон). Должен быть вам знаком в формулировке "от перестановке мест слагаемых сумма не меняется". Работает для конъюнкции, дизъюнкции, эквивалентности.
   x∨y=y∨x;
   x∧y=y∧x;
   x≡y=y≡x;
7. Идемпотентность. Закон утверждающий, что при применении операции к той же переменной, значение остается прежним. Срабатывает с конъюнкцией и дизъюнкцией
   x∨x=x;
   x∧x=x.
8. Ассоциативность (сочетательный закон). Если выражение состоит из нескольких повторов одной операции, для которой выполняется сочетательный закон, то мы можем поставить скобки в любом нужном нам месте. Работает для конъюнкции, дизъюнкции, эквивалентности.
   x∨y∨z=(x∨y)∨z=x∨(y∨z);
   x∧y∧z=(x∧y)∧z=x∧(y∧z);
   x≡y≡z=(x≡y)≡z=x≡(y≡z).
9. Дистрибутивность (распределительный закон). Аналогично раскрытию скобок и вынесению общего множителя из математики.
   x∧(y∨z)=(x∧y)∨(x∧z);
   x∨(y∧z)=(x∨y)∧(x∨z).
10. Законы де Моргана. Кратко можно описать как отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний и отрицание дизъюнкции есть конъюнкция отрицаний.
    ¬(x∧y)=¬x∨¬y;
    ¬(x∨y)=¬x∧¬y.
11. Законы поглощения. Если применить конъюнкцию/дизъюнкцию переменной x к скобке, состоящей только из дизъюнкций/конъюнкций применяемых к переменным, одной из которых является x, то мы получим в результате значение x.
    x∧(x∨y)=x;
    x∨(x∧y)=x.
12. Закон преобразования импликации. Импликация равносильна дизъюнкции с отрицанием первой переменной.
    x→y=¬x∨y.
13. Преобразование эквивалентности.
    x≡y=(¬x∧¬y)∨(x∧y)=(¬x∨y)∧(x∨¬y).